[2016년 백마고]

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[1학년 2학기 기말 수2]

첫째항이 [eqn: -7]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a_10]의 값은? [3.7점]

②

① [eqn: 19]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 39]
④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 59]

[eqn: root {3} of {root {4} of {64}} times 32 ^{ { 2} over {5 }} DIVIDE 16^{ { 3} over {2 }} =2^k]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: -{ 7} over {2 }]	② [eqn: -{ 3} over {2 }]	③ [eqn: { 1} over { 2}]
④ [eqn: { 5} over { 2}]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

[eqn: a_1 =2], [eqn: sum_k=2^22 (a_2k-2 +a_2k-1 ) =65]일 때, [eqn: sum_k=1^43 {a_k}]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: 64]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 66]
④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 68]

[eqn: log _{2} 3=a], [eqn: log_3 {5}=b]일 때, [eqn: log_16 {100]을 [eqn: a], [eqn: b]의 식으로 나타낸 것은? [3.8점]

②

① [eqn: { 1-ab} over {2 }]	② [eqn: { 1+ab } over {2 }]	③ [eqn: { a-b} over {2 }]
④ [eqn: { a(1-b)} over {2 }]	⑤ [eqn: { a(1+b)} over {2 }]

[eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a_1 =2][eqn: a _{n+1} =a _{n} +n(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의될 때, [eqn: a_10]을 [eqn: 6]으로 나눈 나머지는? [3.9점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

어떤 알고리즘에서 [eqn: N]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 [eqn: T]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다.
[eqn: { T} over {N }=log_10 N]
[eqn: 1000]개의 자료를 처리할 때의 시간 복잡도를 [eqn: T_1], [eqn: 10000]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 [eqn: T_2]라 할 때, [eqn: { T_1} over {T_2 }`]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: { 3} over {40 }]	② [eqn: { 5} over {40 }]	③ [eqn: { 7} over {40 }]
④ [eqn: { 9} over {40 }]	⑤ [eqn: { 11} over {40 }]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]로 정의될 때, [eqn: { a_10} over { a_6}]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 720]	② [eqn: 2160]	③ [eqn: 3600]
④ [eqn: 5040]	⑤ [eqn: 6480]

[eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{n+1} =2a _{n} -1(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의된 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: S_6]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 117]	② [eqn: 123]	③ [eqn: 132]
④ [eqn: 145]	⑤ [eqn: 151]

수열 [eqn: {1} over {1} ,``` {2} over {2} ,``` {3} over {2} ,``` {4} over {3} ,``` {5} over {3} ,``` {6} over {3} ,``` {7} over {4} ,``` {8} over {4} ,``` CDOTS]의 제[eqn: n]항을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_n le 7]를 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은? [4.1점]

③

① [eqn: 91]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 98]
④ [eqn: 102]	⑤ [eqn: 104]

다음은 [eqn: h>0]일 때, [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: (1+h) ^{n} >1+nh```cdots cdots``` ①]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(1)+g(2)]의 값은? [4.2점]
① [eqn: 1+2h]	② [eqn: 1+3h]	③ [eqn: 2+2h]
④ [eqn: 2+3h]	⑤ [eqn: 2+4h]

(i) [eqn: n=2]일 때, [eqn: (좌변)=(1+h) ^{2} =1+2h+h ^{2}],
[eqn: (우변)=1+2h]. 이 때 [eqn: h^2 >0]이므로

[eqn: 1+2h+h^2 > 1+2h]가 성립한다.

(ii) [eqn: n=k(k=2,```3,```4,```cdots)]일 때, 주어진 부등식이

성립한다고 가정하자.

[eqn: (1+h) ^{k} >1+kh]

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: (1+h) ^{k+1} =(1+h)(1+h) ^{k} >(1+h)box{`````(가)`````}]

[eqn: ``=1+(k+1)h+kh ^{2}]

이때 [eqn: kh ^{2} >0]이므로

[eqn: 1+(k+1)h+kh ^{2`} >box{`````(나)`````}]
[eqn: (1+h)^k+1 >1+(k+1)h]

따라서 [eqn: n=k+1]일때도 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

⑤

[eqn: sum_k=1^14 left{ { k(k+1)} over { 5}+ { 15} over {k(k+1) }right]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 230]	② [eqn: 232]	③ [eqn: 234]
④ [eqn: 236]	⑤ [eqn: 238]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: RMABC]가 있다. 첫 번째 시행에서 각 변의 중점을 이어서 만든 정삼각형 [eqn: RMA_1 B_1 C_1]을 색칠하고, 두 번째 시행에서 첫 번째 시행 후 남은 [eqn: 3]개의 정삼각형에서 같은 방법으로 만든 정삼각형을 색칠한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 5]회 반복했을 때, 색칠한 부분의 넓이의 합은? [4.3점]

①

① [eqn: 9sqrt { 3}LEFT{ 1- LEFT ( { 3} over {4 } RIGHT )^5 RIGHT]	② [eqn: 9 sqrt {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]
③ [eqn: 12 sqrt {3} LEFT { 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]	④ [eqn: 18 sqrt {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]
⑤ [eqn: 27 sqrt {3} LEFT { 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]

[eqn: 5]년 전 백마는 차를 사면서 차 값의 일부인 [eqn: 2000]만원을 은행에서 빌렸고, [eqn: 5]년 간 매달 월이율 [eqn: 1%]의 복리로 계산하여 돈을 빌린지 한 달 후부터 매달 일정 금액을 [eqn: 60]회로 나누어 원금과 이자를 갚기로 하였다. 백마가 매월 갚아야할 금액은? (단, [eqn: 1.01 ^{60`} =1.8]로 계산) [4.4점]
① [eqn: 41]만원	② [eqn: 42]만원	③ [eqn: 43]만원

⑤

④ [eqn: 44]만원	⑤ [eqn: 45]만원

수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여
[eqn: {a _{1}} over {1} + {a _{1} +a _{2}} over {2} + {a _{1} +a _{2} +a _{3}} over {3} + CDOTS + {a _{1} + CDOTS a _{n}} over {n} =2n ^{2}]
일 때, [eqn: a_10]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 38]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 112]
④ [eqn: 200~]	⑤ [eqn: 380]

그림과 같이 원점 [eqn: RMO]에서 시작하여 [eqn: rmA_1 (1,```1)], [eqn: rmA_2 (0,```2)],
[eqn: rmA_3 (-2,```0)], [eqn: rmA_4 (0,```-2 )rm], [eqn: rmA_5 (3,```1)], [eqn: cdots], [eqn: A _{it k} it (m,```n)]의 순서대로 각 점을 연결하는 선분을 긋는다. 그어진 모든 선분의 길이의 합이 [eqn: 361 sqrt { 2}]일 때, 상수 [eqn: k+m+n]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 56]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 58]
④ [eqn: 59]	⑤ [eqn: 60]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}_n]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[eqn: l_n =bar{rmOP}_n]이라 할 때, [eqn: sum _n=1 ^10 { { 1} over {l_n }]의 값은? [4.5점]
① [eqn: 11- LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^10]	② [eqn: 11+ LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^10]	③ [eqn: { 7} over { 2}- LEFT ( { 3} over {2 } RIGHT )^10]

(가) 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (0,```2)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmP}_n]은 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2^n : 3^n]으로 내분하는

점이다.

④

④ [eqn: { 7} over { 2}+ LEFT ( { 3} over {2 } RIGHT )^11]	⑤ [eqn: { 7} over { 2}- LEFT ( { 3} over {2 } RIGHT )^11]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(-1,```0], [eqn: rm B(0,```-1)]이 있고, 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {rm P} _{n}]이 원 [eqn: C_n : (x-2)^2 +(y-2)^2 = { 2} over {n }] 위를 움직일 때, 다음 [단계]와 같이 수열 [eqn: left{a _{n} right}]을 정한다.

이 때, [eqn: sum_k=1 ^14 {2 LEFT ( { 1} over {a_k }- { 1} over { a_k+2} RIGHT )]의 값은? [4.5점]

[1단계] 원 [eqn: C_1] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP_1]에 대하여

삼각형 [eqn: RMABP_1]의 넓이의 최댓값과 최솟값의

차를 [eqn: a_1]이라 하자.

[2단계] 원 [eqn: C_2] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP_2]에 대하여

삼각형 [eqn: RMABP_2]의 넓이의 최댓값과 최솟값의

차를 [eqn: a_2]라 하자.

[eqn: VDOTS]

[[eqn: n]단계] 원 [eqn: C_n] 위를 움직이는 점 [eqn: {RMP}_n]에 대하여

삼각형 [eqn: {RMABP}_n]의 넓이의 최댓값과 최솟값의

차를 [eqn: a_n]이라 하자.

③

① [eqn: -14 sqrt { 2}]	② [eqn: 14 sqrt { 2}]
③ [eqn: -3+ sqrt { 2 }- sqrt { 15}]	④ [eqn: -3+ sqrt { 2}+ sqrt { 15}]
⑤ [eqn: 3+ sqrt { 2}- sqrt { 15}]

서술형

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]과 등비수열 [eqn: left{b _{n} right}]은 다음 조건을 만족시킨다.

이 때 [eqn: a_3 +b_3]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. (단, 등비수열 [eqn: left{b _{n} right}]의 공비는 정수이다.) [12.0점]

(가) [eqn: a _{1} =1], [eqn: b _{1} =3]

(나) [eqn: a _{2} =b _{2}], [eqn: a _{8} +b _{5} =0]

[eqn: -1]

[eqn: 5^2x -5^x+1 +1 =0]일 때, [eqn: { 5^3x +5^-3x -2} over { 5^x + 5^-x +1}]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 18]

다음 수열에 대하여 물음에 답하고 그 풀이과정을 서술하시오. [총 10.0점]

[eqn: {1} over {2} ,``` {1} over {2} - {1} over {4} ,``` {1} over {2} - {1} over {4} + {1} over {8} ,``` {1} over {2} - {1} over {4} + {1} over {8} - {1} over {16} ,``` CDOTS]

(1) 수열의 일반항을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[3.0점]

(2) 첫째항부터 제[eqn: 18]항까지의 합이 [eqn: p+q LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{r}]일 때

상수 [eqn: p+q+r]의 합을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

(1) [eqn: { 1- LEFT ( -{ 1} over {2 } RIGHT )^n } over {3 }]

(2) [eqn: 24]

[7.0점]

[2016년 백마고]

[1학년 2학기 기말 수2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com